Análisis de Convergencia de Malla: ¿cuándo una simulación CFD se convierte en un resultado fiable?

En el mundo de la Dinámica de Fluidos Computacional existe una pregunta que separa a los profesionales de los aficionados: “¿Cuánto depende tu resultado de la malla?”. Si la respuesta es “no lo sé”, tienes un problema.

El Análisis de Convergencia de Malla no es solo un ejercicio académico para superar la revisión por pares de un artículo; es la única forma que tenemos de cuantificar el error de discretización. La realización de un análisis de convergencia de malla se considera una buena práctica en CFD para garantizar la fiabilidad y la robustez de las predicciones numéricas, ayudando a optimizar los recursos computacionales mediante el equilibrio entre precisión y costes.

Sin ella, simplemente estamos jugando con videojuegos, no haciendo ingeniería.

Imaginad tomar una fotografía de un paisaje impresionante con una antigua cámara de 1 megapíxel. Veréis las formas, por supuesto, pero los detalles estarán pixelados y poco definidos. Si pasáis a 10 megapíxeles, la imagen se vuelve nítida. Si llegarais a 100 megapíxeles, es posible que ni siquiera notaríais la diferencia respecto a los 10, porque el ojo humano ya habría alcanzado su límite. Y, aun así, para obtener esa imagen habéis gastado mucho dinero en vuestra nueva cámara réflex.

En CFD ocurre exactamente lo mismo. El fluido es un continuo, pero nosotros discretizamos la realidad en celdas: cuanto más pequeñas son las celdas, más nos acercamos a la realidad, pero con un coste computacional cada vez mayor.

Dado que las simulaciones CFD implican la discretización del dominio físico en un número finito de volúmenes o elementos de control (la malla), la precisión de los resultados depende en gran medida de la fineza o el grado de refinamiento de dicha discretización. El Análisis de Convergencia de Malla estudia cómo este error disminuye a medida que aumenta la densidad de la malla.

El objetivo no es tener una malla infinita (nuestro presupuesto y los plazos de entrega no están precisamente de acuerdo con ello), sino encontrar el punto de independencia de la malla: el tamaño óptimo de una malla en el que un aumento adicional del número de celdas produciría un cambio en el resultado estadísticamente despreciable.

Para poder afirmar con certeza que “las soluciones son similares” necesitamos un método riguroso. Y ese método es el Análisis de Convergencia de Malla mediante la extrapolación de Richardson.

El objetivo principal de un Análisis de Convergencia de Malla es determinar si la solución numérica está convergiendo hacia un resultado independiente de la malla, que idealmente representaría el comportamiento físico real del sistema.

El método consiste en ejecutar la misma simulación varias veces utilizando mallas progresivamente más refinadas (denominadas normalmente Coarse, Medium y Fine) y, a continuación, comparar las principales variables de salida, como la sustentación y la resistencia, para observar cómo evolucionan estos resultados con el refinamiento de la malla. Si los resultados variaran significativamente al refinar la malla, esto podría indicar que la malla inicial es demasiado gruesa para capturar las características esenciales del flujo.

Por el contrario, si las diferencias entre las mallas Medium y Fine resultan insignificantes, esto sugiere que se ha alcanzado la convergencia de la malla y que un refinamiento adicional podría no ser necesario.

El estándar de referencia a nivel mundial es el Grid Convergence Index, basado en la conocida extrapolación de Richardson.

Para realizar un Análisis de Convergencia de Malla digno de ese nombre, se necesitan al menos tres mallas. No tres mallas elegidas al azar, sino tres mallas relacionadas entre sí mediante una relación de refinamiento constante .

• Generación de las mallas: Cree una malla Fine (h1), una Medium (h2) y una Coarse (h3). Idealmente, la relación de refinamiento r = h2/h3 = h1/h2 debería ser superior a 1,3. Normalmente, una buena práctica (además del estándar recomendado, por ejemplo, por la ITTC) es utilizar una relación igual a √2.
• Cálculo del orden de convergencia: Debemos determinar la velocidad con la que nuestra solución converge hacia el valor exacto. Este es el denominado orden formal p.

Extrapolación de Richardson: Utilizamos los resultados para predecir cuál sería el valor de la solución si dispusiéramos de una malla infinitamente refinada (h0).

El primer paso para evaluar el error debido a la discretización es estimar la Condición de Convergencia (R).

De hecho, la extrapolación de Richardson requiere que la solución se encuentre dentro del rango de convergencia asintótica, es decir, que el error asociado a la discretización disminuya a medida que aumenta el refinamiento de la malla. Este valor representa el sello de garantía de que el orden de precisión y la solución extrapolada son realmente representativos del problema.

En definitiva, debemos garantizar que R esté comprendido entre 0 y 1; en determinadas condiciones particulares también podemos aceptar una convergencia oscilatoria, pero en general es un comportamiento que debe evitarse.

En Dinámica de Fluidos Computacional, cuando configuramos una simulación en STAR-CCM+, casi siempre seleccionamos esquemas de discretización de segundo orden (como el Second Order Upwind para la cantidad de movimiento). Esto significa que, en teoría, el error debería reducirse proporcionalmente al cuadrado del tamaño de la celda.

Sin embargo, el parámetro p muestra cómo se está reduciendo realmente el error al comparar los resultados entre las distintas mallas.

Una vez calculado el orden de precisión, es posible extrapolar el valor correspondiente a una malla infinitamente refinada.

El Índice de Convergencia de Malla de Richardson es una medida cuantitativa utilizada para evaluar la incertidumbre numérica asociada al refinamiento de la malla.

El Índice expresa el error relativo entre los niveles de malla y tiene en cuenta el orden de precisión observado. Es especialmente útil para verificar la coherencia y la fiabilidad de los resultados en múltiples mallas. Un valor de GCI más bajo indica una mejor convergencia y un menor error numérico, contribuyendo a una mayor confianza en la capacidad predictiva de la simulación.

Pro Tip: En lugar de lanzar tres simulaciones independientes, podéis utilizar el Design Manager. Cread un estudio Sweep en el que variéis el Base Size. STAR-CCM+ generará las mallas, resolverá los casos e incluso podrá calcular automáticamente el Índice de Convergencia de Malla mediante informes personalizados.

Pro Tip II: Cuando analicéis la convergencia, no os limitéis a observar únicamente un valor global como el Drag. Revisad también los campos locales. Una malla podría ser convergente para la sustentación global, pero no para la presión local en un punto de estancamiento crítico.

Y así es como se presentan normalmente los resultados de un Análisis de Convergencia de Malla.

Estrictamente hablando, el Análisis de Convergencia de Malla no tiene umbrales de aceptación definidos. Es simplemente una herramienta que indica si tiene sentido hablar de convergencia para una determinada magnitud de la malla y cuál es el error que estamos cometiendo debido a la discretización.

Para responder al primer punto, por tanto, como ya hemos mencionado, debemos garantizar una convergencia monótona de la magnitud analizada mediante el Análisis de Convergencia de Malla, es decir, que R esté comprendido entre 0 y 1.

Es una buena práctica, además, verificar que el orden de precisión sea efectivamente cercano a 2 (si utilizamos esquemas de segundo orden).

En cuanto al error cometido, es posible hacer referencia a estándares generales presentes en la literatura, es decir:

• GCI entre 5% y 10% para estudios paramétricos o preliminares
• GCI entre 1% y 5% para estudios detallados o definitivos

Personalmente, intento establecer como objetivo un índice del 3% en la mayoría de los análisis que superviso.

Pro Tip: El Análisis de Convergencia de Malla también puede utilizarse de forma inversa: si, por ejemplo, os preguntáis “¿qué Base Size debo utilizar para esta malla?”, una buena estrategia puede ser ejecutar una exploración con diferentes tamaños de malla posibles y extrapolar el valor de Base Size que conduce a un error de discretización igual a un umbral determinado.

No siempre todo funciona a la perfección. Existen tres escenarios típicos que deberían haceros estar alerta:

• Convergencia oscilatoria: Los valores entre las tres mallas fluctúan hacia arriba y hacia abajo en lugar de tender hacia un asíntota. A menudo indica que la malla gruesa es demasiado poco refinada y ni siquiera es capaz de capturar la física principal (por ejemplo, una separación de flujo).
• Orden de convergencia incoherente: Si vuestro esquema numérico es de segundo orden, pero el Análisis de Convergencia de Malla devuelve un p = 0,5, hay algo que no funciona correctamente. Puede que la malla esté demasiado distorsionada o que los limitadores de flujo estén actuando en exceso. En general, debe evitarse un valor p < 1, ya que indica una degradación de la precisión del solucionador. Por el contrario, un orden p ≫ 2 podría ser demasiado bueno para ser cierto e indicar la presencia de un error numérico excesivo.
• Divergencia: Refináis la malla y el resultado empeora drásticamente. ¡Bienvenidos al fascinante mundo de las inestabilidades numéricas! En este caso, verificad la calidad de la malla (skewness, aspect ratio) en las zonas con altos gradientes.

Empecemos aclarando que un Análisis de Convergencia de Malla riguroso es formalmente aplicable únicamente a mallas refinadas de forma uniforme. Sin embargo, en la práctica de ingeniería puede extenderse de manera significativa a mallas no uniformes, siempre que se cumplan determinados criterios.

Es posible utilizar una GCA cuando la estrategia de refinamiento volumétrico se aplica de forma sistemática y coherente en los tres niveles de malla, garantizando que todas las regiones clave del flujo, como las capas límite, las estelas y las zonas de estancamiento, sean refinadas de manera similar.

Además, a menudo las características de la malla de la capa límite son independientes entre los tres niveles de malla; la altura de la primera celda y el espesor total de la capa límite suelen mantenerse constantes, basándose en un valor objetivo de Wall y+ y en la fórmula teórica para el espesor de la capa límite turbulenta. Esto introduce una ligera desviación respecto al protocolo estándar, ya que la malla de la capa límite no se amplía ni se refina junto con el resto del dominio y debe ser adecuadamente validada y justificada.

Realizar un Análisis de Convergencia de Malla requiere tiempo, ya que implica ejecutar al menos tres simulaciones en lugar de una. Sin embargo, es la única forma de proporcionar un dato con verdadero valor de ingeniería y defendible incluso ante una comisión de investigación (aunque siempre es mejor no llegar a ese punto). En un mundo donde “todo el mundo sabe hacer CFD” pulsando un botón, quien sabe cuantificar el error es quien realmente domina la herramienta.

La próxima vez que presentéis un resultado a vuestro responsable o a un cliente, no digáis simplemente: “aquí está la presión”. Decid: “aquí está la presión, con una incertidumbre numérica del 1,2% basada en el Índice de Convergencia de Malla”.

Causaréis una excelente impresión.

Lee los demás artículos de la serie:

• Wall y+: cómo controlar realmente la malla cerca de las paredes
• Herramientas y criterios para mantener bajo control el Wall y+
• Validación de la malla CFD: los criterios que marcan la diferencia