Grid Convergence Analysis: quando una simulazione CFD diventa un risultato affidabile

Nel mondo della fluidodinamica computazionale esiste una domanda che separa i pro dagli hobbisti: “quanto il tuo risultato dipende dalla mesh?”. Se la risposta è “non lo so”, siete nei guai.

La Grid Convergence Analysis non è solo un esercizio accademico per superare una peer review del vostro articolo; è l’unico modo che abbiamo per quantificare l’errore di discretizzazione. L’esecuzione di un’analisi di convergenza della griglia è considerata una best practice nel CFD per garantire l’affidabilità e la robustezza delle previsioni numeriche, aiutando a ottimizzare le risorse computazionali bilanciando accuratezza e costi.

Senza di essa, stiamo solo giocando con i videogiochi, non facendo ingegneria.

Immaginate di scattare una foto a un panorama mozzafiato con una vecchia fotocamera da 1 megapixel. Vedrete delle forme, certo, ma i dettagli saranno sgranati. Se passate a 10 megapixel, l’immagine diventa nitida. Se passaste a 100 megapixel, potreste non notare nemmeno la differenza rispetto ai 10, perché l’occhio umano ha raggiunto il suo limite.
Eppure, per ottenere questa immagine avete speso un sacco di soldi per la vostra reflex nuova di zecca.

In CFD accade esattamente la stessa cosa. Il fluido è un continuo, ma noi disintegriamo la realtà in celle: più piccole sono le celle, più ci avviciniamo alla realtà, ma a un costo computazionale sempre maggiore.

Poiché le simulazioni CFD comportano la discretizzazione del dominio fisico in un numero finito di volumi o elementi di controllo (la mesh), l’accuratezza dei risultati dipende fortemente dalla finezza o dalla grossolanità di tale discretizzazione. La Grid Convergence Analysis è lo studio di come questo errore diminuisce all’aumentare della densità della griglia.

L’obiettivo non è avere una mesh infinita (il nostro budget e il tempo di consegna non sono per niente d’accordo), ma trovare il punto di indipendenza dalla griglia: la dimensione perfetta di una mesh in cui un ulteriore aumento di celle porterebbe ad un risultato che cambia di una percentuale trascurabile.

Per poter affermare con certezza che “le soluzioni si somigliano” ci serve un metodo rigoroso. E il metodo è la GCA con estrapolazione di Richardson.

L’obiettivo principale di una GCA è determinare se la soluzione numerica sta convergendo verso un risultato indipendente dalla mesh, che idealmente rappresenterebbe il vero comportamento fisico del sistema.

Il metodo comporta l’esecuzione della stessa simulazione più volte utilizzando mesh progressivamente raffinate (nominate in genere Coarse, Medium e Fine) e quindi il confronto delle quantità di output chiave, ad esempio portanza e resistenza, per osservare come questi risultati evolvono con la mesh. Se i risultati variassero in maniera significativa con il raffinamento della mesh, ciò potrebbe indicare che la mesh iniziale è troppo grossolana per catturare le caratteristiche essenziali del flusso.

Al contrario, se le differenze tra mesh medie e fini diventano trascurabili, ciò suggerisce che la convergenza della griglia è stata raggiunta e che un ulteriore affinamento potrebbe non essere necessario.

Il punto di riferimento mondiale è il Grid Convergence Index, basato sulla nota estrapolazione di Richardson.

Per eseguire una GCA degna di questo nome, servono almeno tre mesh. Non tre mesh a caso, ma tre mesh correlate tra loro da un rapporto di refinement r costante.

• Generazione delle mesh: Create una mesh Fine (h1), una Medium (h2) e una Coarse (h3). Idealmente, il rapporto r = h2/h3 = h1/h2 dovrebbe essere superiore a 1.3. Tipicamente, una buona idea (oltre che lo standard suggerito ad esempio dalla ITTC) è prendere un rapporto pari a √2.
• Calcolo dell’ordine di convergenza: Dobbiamo capire quanto velocemente la nostra soluzione “corre” verso il valore esatto. Questo è l’ordine formale p.
• Estrapolazione di Richardson: Usiamo i risultati per prevedere quale sarebbe il valore della soluzione se avessimo una mesh infinitamente fitta (h0).

Il primo passo per valutare l’errore dovuto alla discretizzazione è stimare la Condizione di Convergenza (R).

Infatti, l’estrapolazione di Richardson richiede che la soluzione sia nel range di convergenza asintotica, ossia che l’errore dovuto alla discretizzazione diminuisca all’aumentare della mesh. Questo valore rappresenta il sigillo di garanzia sul fatto che l’ordine di accuratezza e la soluzione estrapolata h0 siano effettivamente rappresentative del problema.

Dobbiamo insomma garantire che R sia compreso tra 0 e 1; in determinate condizioni particolari possiamo anche accettare una convergenza oscillatoria, ma generalmente questo è da evitare.

In fluidodinamica computazionale, quando impostiamo una simulazione su STAR-CCM+, scegliamo quasi sempre schemi di discretizzazione del secondo ordine (come il Second Order Upwind per la quantità di moto). Questo significa che, teoricamente, l’errore dovrebbe ridursi proporzionalmente al quadrato della dimensione della cella.

Il parametro p mostra invece come si sta riducendo l’errore tracciando la grandezza tra le mesh.

Una volta aver calcolato l’ordine di accuratezza, è possibile estrapolare il valore di mesh infinitesima.

L’indice di convergenza della griglia di Richardson è una misura quantitativa utilizzata per valutare l’incertezza numerica associata al raffinamento della mesh.

Il GCI esprime l’errore relativo tra i livelli della mesh e tiene conto dell’ordine di accuratezza osservato. È particolarmente utile per verificare la coerenza e l’affidabilità dei risultati su più griglie. Un valore GCI più basso indica una migliore convergenza e un errore numerico ridotto, contribuendo a una maggiore fiducia nella qualità predittiva della simulazione.

Pro Tip: Invece di lanciare tre simulazioni separate, potete usare il Design Manager. Create uno studio Sweep dove variate il Base Size. STAR-CCM+ genererà le mesh, risolverà i casi e potrà persino calcolare automaticamente il GCI tramite dei report personalizzati.

Pro Tip II: Quando analizzate la convergenza, non guardate solo un valore globale come il Drag. Controllate anche i campi locali. Una mesh potrebbe essere convergente per la portanza globale, ma non per la pressione locale in un punto di ristagno critico.

Ed ecco come vengono tipicamente presentati i risultati di una GCA.

A rigori, la GCA non ha delle soglie di accettabilità. È soltanto uno strumento che vi dice: se ha senso parlare di convergenza di una data misura della mesh e quanto è l’errore che stiamo commettendo per effetto della discretizzazione.

Per rispondere al primo punto, dunque, come abbiamo già detto, dobbiamo garantire una convergenza monotona della grandezza in esame attraverso la GCA, ossia R sia compreso tra 0 e 1.

È buona prassi inoltre verificare che l’ordine di accuratezza sia effettivamente prossimo a 2 (se usiamo schemi del secondo ordine).

Per quanto riguarda l’errore commesso, invece, è possibile rifarsi a degli standard generici di letteratura, ossia

• GCI compreso tra 5% e 10% per studi parametrici o preliminari
• GCI compreso tra 1 e 5% per studi di dettaglio o definitivi

Personalmente, cerco di pormi come target il 3% di GCI nella maggior parte delle analisi che supervisiono.

Pro Tip: La GCA può essere utilizzata anche in maniera inversa: se vi state domandando ad esempio “qual è la base size che devo usare per questa mesh?” una buona idea può essere quella di girare una esplorazione con delle taglie di mesh ipotizzabili, ed estrapolare il valore di Base Size che porta ad un errore di discretizzazione uguale a una determinata soglia.

Non sempre tutto va liscio. Ci sono tre scenari tipici che dovrebbero farvi alzare le antenne:

• Convergenza Oscillatoria: I valori tra le tre mesh saltano su e giù invece di tendere a un asintoto. Spesso indica che la mesh grossolana è troppo grossolana e non “vede” nemmeno la fisica principale (es. un distacco di vena).
• Ordine di convergenza incoerente: Se il vostro schema numerico è del secondo ordine ma la GCA vi restituisce un p = 0.5, c’è qualcosa che non va. Forse la mesh è troppo distorta o i limitatori di flusso stanno lavorando troppo. In generale, bisogna evitare p<1 che indica che è degradata la accuratezza del solutore. Viceversa, un ordine p>>2 potrebbe essere troppo bello per essere vero e indicare un eccessivo errore numerico.
• Divergenza: Raffinate la mesh e il risultato peggiora drasticamente. Benvenuti nel magico mondo delle instabilità numeriche! In questo caso, verificate la qualità della mesh (skewness, aspect ratio) nelle zone ad alto gradiente.

Iniziamo con il chiarire che una GCA rigorosa è formalmente applicabile solo a mesh raffinate uniformemente. Ad ogni modo, però, nella prassi ingegneristica può comunque essere estesa in modo significativo a mesh non uniformi, a condizione che vengano soddisfatti determinati criteri.

È possibile utilizzare una GCA se la strategia di infittimento volumetrico è applicata in modo sistematico e coerente attraverso i tre livelli di mesh, garantendo che tutte le regioni chiave del flusso – come strati limite, scie e zone di ristagno – siano raffinate in modo simile.

Inoltre, spesso le caratteristiche della mesh dello strato limite sono indipendenti attraverso i tre livelli di griglia; l’altezza della prima cella e lo spessore totale dello strato limite vengono spesso mantenuti costanti, basandosi su un valore target di Wall y+ e sulla formula teorica per lo spessore dello strato limite turbolento. Ciò introduce una leggera deviazione dal protocollo GCA standard, poiché la mesh dello strato limite non viene né espansa né raffinata insieme al resto del dominio e deve essere opportunamente validata e giustificata.

Fare una Grid Convergence Analysis richiede tempo, richiede di far girare almeno tre simulazioni invece di una. Tuttavia, è l’unico modo per fornire un dato che abbia valore ingegneristico e sia difendibile anche davanti ad una commissione di inchiesta (anche se vi consiglio sempre di non arrivarci). In un mondo dove “tutti sanno fare CFD” premendo un tasto, chi sa quantificare l’errore è chi davvero domina lo strumento.

La prossima volta che presentate un risultato al vostro capo o a un cliente, non dite “ecco la pressione”. Dite “ecco la pressione, con un’incertezza numerica del 1.2% basata su GCI”.

Farete un figurone.

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