Oggi parliamo di uno di quei parametri che, se sbagliati, trasformano il tuo bellissimo contour colorato in un’opera d’arte astratta del tutto priva di senso fisico: il Wall y+, uno dei parametri più ampiamente discussi e, a volte, meno compresi.

Comprendendo a fondo il y+ è possibile progettare mesh che permettano ai modelli di turbolenza di lavorare come previsto, garantendo che la dinamica dello strato limite venga catturata con sufficiente accuratezza.

 

L’architettura del y+: derivazione analitica e scaling adimensionale

La definizione matematica di y+ (a proposito, si legge “wuai plas”) ha origine dalla teoria di strato limite. Viene introdotta rendendo adimensionale la distanza normale alla parete y rispetto alla scala viscosa.

Come ogni adimensionalizzazione, è un rapporto tra una grandezza (nel nostro caso y, distanza dalla parete) e una grandezza di riferimento consistente, la distanza di scala viscosa  v/uτ, dove v è la viscosità cinematica del fluido e uτ è la velocità a parete, definita come

con τw il wall shear stress e ρ la densità del fluido.

Ok, ma non bastavano i millimetri?

Il y+ è una distanza adimensionale. Non ci dice quanti millimetri siamo lontani dalla parete, ma “quanto siamo vicini” in relazione alle caratteristiche del fluido (viscosità) e dello sforzo che il fluido esercita sulla parete stessa.

Diamo un’altra occhiata a y+: ricorda molto la definizione del Numero di Reynolds, vero?
È perché in fondo è proprio così: oltre alla similitudine formale tra le due definizioni, proprio come il Numero di Reynolds, il y+ rappresenta il rapporto tra forze d’inerzia e forze viscose vicino alla parete.

Quando parleremo di Wall y+ ci riferiremo al valore di y+ del centroide della prima cella (la più vicina alla superficie) dello strato limite.

 

Dentro lo strato limite: la fenomenologia del fluido dietro il numero

Immagina l’aria che scorre su una superficie, tipo l’ala di un aereo o il cofano di una Ferrari. Proprio vicino alla parete, il fluido rallenta bruscamente per colpa della viscosità, fino a fermarsi del tutto sulla superficie (la famosa no-slip condition). La velocità del fluido varierà con continuità dal valore nullo a parete fino al valore di corrente indisturbato U (a rigore, fino al 99% del valore indisturbato); questa regione è il famosissimo strato limite, caratterizzato dal suo tipico profilo di velocità.

Nello strato limite, è possibile distinguere tre zone principali in base alla dominanza di forze viscose o forze inerziali.

• Sottostrato Viscoso (Viscous Sublayer): In questa regione, gli effetti della viscosità molecolare sono dominanti. Il flusso tende ad essere allineato alla parete e la turbolenza è pressocché assente.
• Buffer Layer: Una zona di transizione complessa dove né le leggi viscose né quelle turbolente sono pienamente valide. La turbolenza tende a dissiparsi con dinamiche complesse.
• Regione pienamente turbolenta (log-layer): Qui la turbolenza è pienamente sviluppata.

A questo punto vi si sarà accesa una lampadina (o una luce di emergenza con tanto di sirena): se ho delle regioni caratterizzate dalla dominanza di sforzi viscosi o forze inerziali, per capire in che regione dello strato limite si trova un dato punto ho bisogno di uno strumento che faccia da ponte tra la posizione e l’importanza degli sforzi viscosi.

Il y+ serve proprio a dirti in quale zona dello strato limite ci troviamo e soprattutto, come vedremo poi, se la tua mesh è abbastanza fitta per capire cosa succede lì sotto.

• Se y+ < 5, siamo all’interno dello strato viscoso, dove i profili di velocità seguono una relazione lineare rispetto alla coordinata normale alla parete (u+ = y+).

Se l’obiettivo è il calcolo accurato del coefficiente di attrito (Cƒ) o del numero di Nusselt per lo scambio termico, la mesh deve essere risolta fino a y+ ≈ 1.

• Quando y+ è compreso approssimativamente tra 10 e 30, la cella si trova nello strato buffer, una zona di transizione in cui né gli effetti viscosi né quelli turbolenti sono completamente dominanti. È l’area più critica per la stabilità dei solutori numerici.

• Per y+ > 30, la cella è situata nella regione logaritmica, dove il profilo medio di velocità segue la legge logaritmica della parete. In questa zona, è possibile utilizzare delle approssimazioni matematiche per risparmiare risorse computazionali.

Quando spiego agli studenti dei nostri corsi la tematica del Wall y+ a questo punto mi fermo ed attendo sempre qualche istante. Sia per verificare che tutti siano ancora vivi, sia perché puntualmente arriva la solita, e giustissima, domanda:

ma a noi cosa interessa sapere in quale delle zone dello strato limite siamo?

 

Wall Functions: la scorciatoia intelligente per evitare un calcolo Infinito

Per poter calcolare correttamente il profilo di velocità, se proprio volessi farlo, avrei bisogno di un altissimo numero di celle estremamente sottili all’interno dello strato limite.

Il gradiente di velocità a parete, da cui deriva lo sforzo di taglio e quindi la resistenza d’attrito, è infatti molto ripido; se le celle vicine alla parete sono troppo grossolane, il gradiente di velocità sulla parete non viene risolto correttamente.

Di conseguenza, lo stress da taglio sulla parete τw viene valutato in modo errato, il che influisce direttamente sulla previsione della resistenza fluidodinamica dell’oggetto.

Se ad esempio volessi calcolare in maniera diretta lo strato limite di una vettura da competizione a 200kmh senza (quasi) usare le funzioni di parete, avrei bisogno di avere una dimensione di cella di 10-7  (0.7 μm) per arrivare a Wall y+ = 0.1; e non solo: il numero di celle esploderebbe anche sulla superficie, dove avrei bisogno di infittire tantissimo per mantenere degli Aspect Ratio di cella che siano all’interno dei valori ottimali.

Volendo risolvere fisicamente ogni singolo strato limite di un’intera carrozzeria di una vettura da corsa fino alla scala molecolare, la simulazione finirebbe probabilmente dopo il pensionamento dell’analista.

Ed in realtà la questione sarebbe ancora più complessa, molto più complessa, introducendo il concetto di viscosità turbolenta, che però va molto oltre quanto vogliamo discutere oggi.

Un ragionamento simile vale per il trasferimento di calore: quando la risoluzione vicino alla parete è insufficiente, anche il coefficiente di trasferimento di calore locale viene calcolato in modo errato perché il gradiente di temperatura sulla parete non può essere rilevato con precisione.

Quindi ci arrendiamo? Ovviamente no.

È qui che entra in gioco uno dei trucchetti più celebri della CFD: le Wall Functions.

Invece di costringere il computer a calcolare faticosamente il profilo di velocità punto per punto nel sottostrato viscoso, noi decidiamo di barare con intelligenza, utilizzando un modello non lineare basato su funzioni di parete che calcola il gradiente corretto; ciò consente di utilizzare un numero inferiore di celle nello strato limite ed evita Aspect Ratio eccessivamente elevati, garantendo così una maggiore stabilità.

Utilizzando le wall functions diciamo al software: “Non perdere tempo a guardare cosa succede lì sotto; sappiamo già per via teorica che, se la prima cella si trova a una certa distanza, la velocità seguirà questa precisa curva logaritmica”. Questo approccio permette di “saltare” a piè pari la regione più costosa dello strato limite, applicando una condizione al contorno basata su un profilo di velocità pre-calcolato.

È un compromesso brillante: sacrifichiamo una risoluzione geometrica infinitesimale per ottenere un calcolo migliaia di volte più veloce, affidandoci alla validità universale della fisica di Prandtl e von Karman per ottenere risultati che rimangono incredibilmente precisi per la maggior parte delle applicazioni industriali.

Ed infine, è qui che interviene l’ultimo tassello del puzzle; un fantastico grafico che ogni analista fluidodinamico ha visto almeno una volta nella vita e che spero ora avrà più senso.

A seconda del valore di y+, è necessario utilizzare una legge di tipo lineare (che nel grafico log-log ha la forma di una esponenziale) o una legge logaritmica (che nel grafico è una retta).

Semplificando, il procedimento è questo: si calcola la distanza dalla parete del centro-cella in cui effettuiamo il calcolo e lo adimensionalizziamo ottenendo y+; a seconda di questo valore, capiamo se siamo nel substrato viscoso o nell’outer region e utilizziamo la legge a parete corretta. Calcoliamo in questo modo u+ e quindi desumiamo il profilo di velocità e la sua derivata, ossia lo sforzo a parete.

In questo modo, di fatto, noi non stiamo risolvendo le equazioni dello strato limite ma le stiamo modellando, con mesh più grossolane e usando altri trucchetti sulla viscosità propri dei modelli turbolenza.

Se sei arrivato fino a questo punto, un’immagine di questo tipo dovrebbe avere adesso per te tutto un altro sapore, ed avrai capito che non si può prescindere in una analisi fluidodinamica da una corretta modellazione dello strato limite basata sul y+.

A questo punto avrai comunque tante domande, anzi molte più di prima se questo articolo ha svolto il suo lavoro. Come dimensiono lo strato limite per ottenere il corretto valore di y+? Come faccio a controllarlo nella mia simulazione? Che valori posso accettare e dove?

Per questo dovrete aspettare il prossimo articolo!