Come utilizzare l’analisi modale per trovare le labilità in un modello FEM

Per rispondere a questa domanda mi riprendo dal post sull’analisi modale agli elementi finiti la figura con l’equazione caratteristica per il calcolo degli autovalori e degli autovettori del sistema.

La particolarità di questa equazione è che ammette una soluzione anche se nel modello non vengono introdotti dei vincoli che bloccano la struttura.

In altre parole, le frequenze naturali (= autovalori) e le forme modali (= autovettori) vengono calcolate anche per i sistemi labili. In questo caso si parla di parla di sistema free-free.

Quando eseguiamo un calcolo modale senza vincolare il nostro corpo, otterremo 6 autovalori con frequenza molto bassa, praticamente a 0 Hz.

Questi autovettori sono le forme di corpo rigido, ovvero sono delle oscillazioni di roto-traslazione di tutto il sistema nello spazio. In sequenza, dopo le prime forme di corpo rigido, troviamo i modi elastici con frequenze diverse da zero.

Come abbiamo detto, l’analisi modale produce risultati anche se il modello non è vincolato. In particolare ci interessa utilizzare l’analisi modale per determinare i modi di corpo rigido del modello.

In figura vediamo l’esempio che ho preparato per spiegare questo trucco: si tratta di un piccolo assieme costituito da 3 parti.

Ho applicato carichi e vincoli al modello, ho controllato che materiali e proprietà siano a posto, ho verificato che la mesh non presenta elementi singolari, ma l’analisi statica lineare non vuole proprio saperne di girare.

NX Nastran dice che il modello produce un sistema singolare (ovvero labile) e termina il job con un fatal message.

 ^^^USER   FATAL   MESSAGE 9137 (SEKRRS)   
 ^^^RUN TERMINATED DUE TO EXCESSIVE PIVOT RATIOS IN MATRIX KLL.
 ^^^ USER ACTION:  CONSTRAIN MECHANISMS WITH SPCI OR SUPORTI ENTRIES OR SPECIFY PARAM,BAILOUT,-1 TO 
 ^^^ CONTINUE THE RUN WITH MECHANISMS.  

In altre parole, NX Nastran ci dice soltanto che il sistema è labile e ci suggerisce due possibili azioni 1) vincolare il modello oppure 2) proseguire l’analisi attivando il PARAM,BAILOUT,-1 (cosa che non consiglio).

Ma in definitiva dove è il problema? Dove si trova la labilità nel modello?

Per scoprirlo può essere sufficiente impostare un’analisi modale, impostando il sistema di vincolo dell’analisi statica. Nei settaggi della simulazione andiamo a chiedere un numero di autovettori pari a 20 e lanciamo l’analisi.

Una volta importati i risultati, vediamo che ci sono diversi modi con frequenza pari a 0 Hz, o comunque numericamente pari a zero: questi sono i moti rigidi dei componenti.

Visualizzando la deformata, e animandola, possiamo renderci subito conto di dove si trovi la labilità del sistema.

In questo esempio, mi ero semplicemente dimenticato di definire i collegamenti tra le parti. Per questo motivo ho trovato 12 forme di roto-traslazione rigida: 6 modi per ogni parte scollegata.

Adesso che sappiamo DOVE è il problema, siamo in grado di correggere il modello e lanciare l’analisi statica. Aggiungo un incollaggio automatico e lancio nuovamente l’analisi… adesso l’assieme è tutto collegato!

Riassumendo: dato che si può utilizzare l’analisi modale per determinare i modi di corpo rigido, la utilizziamo su un modello strutturale per scoprire se ci sono, e dove sono, eventuali labilità. È un trucco che spesso ci aiuta ad evitare di fare la caccia alle streghe durante il debug del modello.

Se poi, come talvolta capita, non riesce a girare anche l’analisi modale allora vuol dire che il problema è di altra natura come la definizione di proprietà del materiale non fisiche, oppure una pessima mesh con elementi fortemente distorti.

In questo breve filmato di 6:31 minuti puoi vedere la spiegazione passo dopo passo dell’esempio illustrato in figura.

• Cosa è l’analisi modale con gli elementi finiti